Tema 03: Capitalização simples: Conceitos e aplicabilidade com exercícios resolvidos
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: Capitalização simples: É aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre o juro acumulado. Neste tipo de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar por 30; se desejamos converter a taxa mensal em anual basta multiplicar por 12, e assim por diante. A utilização da capitalização simples é aplicada em países de baixa inflação onde o valor do dinheiro no tempo não sofre fortes desvalorização. Primeiramente precisamos definir alguns conceitos; básicos de primordiais para o estudo da matemática financeira, e então vamos lá: CAPITAL: Entende-se por capital o valor inicialmente contratado; correlaciona-se com o valor do bem no seu estágio inicial; sem risco e no seu poder de conversão ou utilização imediata; mediante a transferência de propriedade. JUROS: É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro; ou pela transferência de propriedade sem a efetiva transição monetária no momento da aquisição de um bem. TAXA DE JUROS: É a razão entre os juros recebidos ou pagos no final de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa está sempre correlacionada com uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano etc.) Entendido estes conceitos; temos três modelos que nos ajudam a chegamos a um determinado resultado: APLICABILIDADE DAS FÓRMULAS e TABELAS; UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA HP EXCEL Importante o conhecimento e domínio das fórmulas, pois assim entenderemos como a calculadora HP funciona e como encontra-se parametrizado o Excel em seus cálculos automáticos. Assim as fórmulas previamente formatadas por estudiosos no assunto nos ajudam no entendimento e aplicabilidade dos conceitos. Cálculo dos juros: O valor é obtido pela seguintes expressão: J = C x I x N onde: J = Juros c = Capital i = taxa n = tempo Exemplo: Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00 pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3% ao mês? Fórmula: J = C x I x N Dados C = R$ 100.000,00 n =15 meses i = 3% = 0,03 Substituindo os dados na fórmula, teremos: J = R$ 100.000,00 x 0,03 x 15 J = R$ 45.000,00 A partir da fórmula original, poderemos desenvolver as fórmulas derivadas, tais como: Cálculo do tempo: n = J / (C x i) Cálculo da taxa: i = J / (C x n) Cálculo do capital: C = J / (i x n) Uma outra definição é a do montante que refere-se a soma do capital inicialmente empregado com o juros referentes ao período de aplicação, assim sendo temos: M = C + J substituindo, o J (juros) pelo seu desmembramento teremos: M = C + (C x i x n) Colocando o C em evidência, resultaremos na seguinte fórmula para o cálculo do montante: M = C x (1 + i x n); A partir desta fórmula podemos elaborar a fórmula derivativa para o cálculo do capital, quando tivermos a informação do montante, tal como apresentamos abaixo: C = M / (1 + i x n) LISTA DE EXERCÍCIOS: CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1) Calcule os juros produzidos por $100, 00, à taxa de 10% ao mês, após dois meses. Dados C = $ 100,00 n = 2 meses i = 10% a.m. J = C (x) i (x) n J = 100 x 0,10 x 2 = 20,00 Fórmula do Montante M = C x [1+ i x n] M = 100 x (1 + 0,10 x 2) M = 100 x (1,20) M = 120,00 2) Durante quantos meses o capital de $4.500,00, aplicados a 8% ao mês, produz juros de $1.440,00? Dados C = $ 4.500,00 j = 1.440,00 i = 8% a.m. Fórmula dos Juros (J): J = C x i x n Formula derivada: N = J / (c x i) N = 1.440,00 (4.500,00 x 0,08) N = 1.440,00 / 360,00 N = 4 meses 3) Qual a taxa de juros cujo capital de $590,00, aplicados durante 14 meses, produz juros de $371,70? Dados C = $ 590,00 j = 371,70 n = 14 meses Fórmula dos Juros (J): J = C x i x n Formula derivada: i = J / (c x n) i = 371,70 / (590,00 x 14) i = 371,70 / (8.260,00 i = 0,045 (x) 100 = 4,5% 4) Dois capitais cuja soma é de $500,00 foram aplicados a juros simples. O primeiro a taxa de 3% ao mês e o segundo a taxa de 5% ao mês. Calcule os dois capitais, sabendo que a soma dos juros produzidos, após um semestre, foi de $114,00. Dados: Soma dos capitais (x + y) : R$ 500,00 Capital x encontra-se aplicado a taxa de 3% Capital y encontra-se aplicado a taxa de 5% Juros de x + y = 114,00 Tempo da aplicação: 6 meses Se x é o capital que foi aplicado à taxa de 3%a.m., então (500-x) é o capital restante (y), que foi aplicado a 5%a.m. Passaram-se 6 meses, então: x.(3/100).6 + (500-x).(5/100).6 = 114 Dividindo-se todos os membros da equação por 6, temos: x.(3/100) + (500-x).(5/100) = 19 Multiplicando-se todos os membros da equação por 100, temos: 3x + (500-x).5 = 1900 3x + 2500 – 5x = 1900 -2x = -600 X = 300 Y = 200 5) Determine os juros e o montante (valor futuro) correspondente à aplicação do capital R$ 40.000,00 à taxa de juros simples 4% ao mês, pelo prazo de três meses. Dados C = $ 40.000,00 n = 3 meses i = 4% a.m. Fórmula dos Juros (J): J = C (x) i (x) n J = 40.000 x 0,04 x 3 = 4.800 M = C + J = 44.800,00 Fórmula do Montante M = C x [1+ i x n] M = 40.000 x (1,12) M = 44.800,00 6) Determine os juros
Tema 04: Regime de capitalização composta cases com resolução e áudio
Tema 05: Explicações iniciais das operações com desconto de duplicatas.
Operações com desconto normalmente ocorre quando empresas ao necessitar de recursos futuros antecipam a conversão de uma duplicata a vencer em data futura para uma data presente. Fatores que levam as empresas a operar com desconto de duplicatas: Os principais fatores que levam as empresas a operar com desconto é a ausência de “capital de giro” para manter suas necessidades diárias, ou que por necessidade de crescimento ou expansão das operações necessitam de recursos financeiros para “compras de máquinas e equipamentos” e antecipam vencimentos futuros dos títulos a vencer. “O grande risco numa operação das antecipações dos recursos é o desvio do dinheiro que normalmente seria para a empresa repor os estoques das mercadorias que foram vendidas para outras finalidades dentro da própria empresa, que poderá levá-la a um colapso financeiro”. A contribuição da contabilidade na gestão empresarial: Por analogia, quando deduzimos da RECEITA LÍQUIDA o CUSTO DO PRODUTO VENDIDO e outras despesas operacionais entre o imposto sobre o lucro, temos um lucro líquido; a contabilidade está nos dizendo: “Você somente pode gastar para outros investimento o lucro líquido; pois da Receita liquida total você tem que repor os custos dos produtos vendidos e outras despesas operacionais”. Normalmente o que você acha que acontece? Os proprietários se iludem com a Receita líquida total e utilizam esta base para outros fins dentro da própria empresas; e falta recursos para recompor os estoques e utilizam-se dos vencimentos futuros das duplicatas para suprir despesas e custos já compromissados. Quais cuidados que devemos ter nas operações com descontos? Quando a empresa realiza operações de desconto com os bancos, ao antecipar um valor recebível lá do futuro o banco cobra “taxas” e adotam diferente metodologias para promover o desconto das duplicatas a vencer, sendo muito importante, conhecê-las, para não perdermos ainda mais o “andar das carruagens”. Primeiramente devemos nos atentar o modelo utilizado pela instituição financeira; normalmente temos dois tipos de modalidades: O desconto racional e o desconto comercial. Mas antes vamos definir com clareza este tal de “desconto”: Pensa primeiramente que nada é gratuito na linha do tempo; pois se você tem uma duplicata que irá vencer daqui 30 dias e você quiser utilizar este recurso na data de hoje; temos a questão tempo, correto? O valor do dinheiro lá no futuro, ou seja daqui 30 dias temos um fator que faz parte do nosso dia a dia que se chama? Inflação: representada pela desvalorização da moeda entre uma data presente e uma data futura, e dai surge uma palavrinha que se chama taxa, e que representa o índice aplicado no valor Nominal de um título para trazê-lo a data presente. No mínimo numa operação bancária temos a taxa da inflação, mais a taxa de risco do banco proceder a antecipação de um titulo que chamamos de taxa efetiva para desconto de duplicatas. Pensa o seguinte: podemos ser grandes amigos, mas dificilmente colocarei na tua mão um valor de R$ 100,00 reais na data de hoje, contra um direito que você estará me passando a receber deste valor de R$ 100,00 que irá vencer daqui 30 dias. Num raciocínio lógico, primeiramente eu antes de colocar este dinheiro que irá vencer lá na frente, ou seja daqui a 30 dias, eu iria conhecer a taxa da inflação e para falar a verdde a taxa efetiva de juros praticado no mercado, que além da inflação inclui também a taxa de ganho efetiva da operação,e deduzir do valor futuro a taxa pertinente e te liberar somente o valor líquido da operação. Legal, vamos apresentar este pensamento numericamente: Valor do título nominal na data futura: R$ 100,00 Tempo entre a data de hoje e a data futura: 360 dias Taxa mensal do desconto: 4,50% Então pela fórmula tradicional da matemática financeira, como estudamos em juros compostos, pois estamos numa economia inflacionária, vamos pensar que o valor nominal é o nosso Montante, pois é um valor futuro, correto? o tempo representa a variável (n) e a taxa a variável (i) e estamos buscando conhecer o nosso valor presente que representamos por Capital ou Valor presente. No fórmula tradicional do sistema de capitalização composta temos: e na fórmula dedutiva, para conhecermos o Capital, temos: Onde: M = Montante C = Capital n = tempo i = taxa Então, aplicando-se a fórmula para conhecermo o Capital a ser liberado na data presente de um título a vencer no futuro, teremos: Conforme apresentamos acima, utilizamos uma metodologia “justa” ao descontar de um título de valor nominal que irá vencer daqui 360 dias, o valor da mensal do desconto de 4,5% e liberar para você utilizar na data de hoje o valor de resgate de R$ 95,69. A diferença entre o valor nominal do titulo e o valor de resgate na data de hoje no valor de R$ 4,31 se chama “desconto racional”. Mas, na realidade quando realizamos operações de desconto com os bancos temos dois tipos de metodologias, amplamente utilizadas: Desconto Racional ou desconto por dentro: Desconto Comercial ou desconto por fora. Assim como estudamos anteriormente, temos dois tipos de regime de capitalização: Capitalização Simples Capitalização Composta. Antes de mais nada, vamos deixar bem esclarecido os conceitos acima: Desconto racional ou desconto por dentro: Nesta metodologia, define-se que a base para calcular o “desconto” de um título é o valor de resgate ou o seu valor presente que denominamos como Capital, semelhante ao pensamento que utilizamos quando pretendemos conhecer o valor presente de uma aplicação que terá direito a resgate no futuro e que denominamos de Montante. Por este motivo chamamos de desconto racional ou “desconto por dentro”. Desconto comercial ou desconto por fora: Nesta metodologia, define-se que a base para calcular o “desconto” de um título é o valor futuro, que denominamos como Montante, diferente do pensamento que utilizamos quando pretendemos conhecer o valor presente de uma aplicação que terá direito de resgate no futuro e que denominamos de Montante. Por este motivo chamamos de desconto comercial ou “desconto por fora”. Percebe-se que no modelo comercial a base para o cálculo do desconto é o valor futuro e que
Tema 06: Operações com desconto simples racional ou “desconto por dentro”
Desconto simples racional ou desconto por dentro: Nesta metodologia, define-se que a base para calcular o “desconto” de um título é o valor de resgate Vr; que denominamos no sistema de capitalização simples como Capital. As formulação matemática do desconto racional é semelhante ao modelo do sistema de capitalização simples quando realizamos uma aplicação financeira, por este motivo o título de “racional”, pois existe uma equivalência conceitual, tanto para a empresa que procede o desconto de um título, tanto quanto, a empresa que procede a aplicação de um valor em busca de um rendimento futuro. Apenas as siglas recebem uma nomenclatura diferente, para entendermos de um modo claro, quando estamos num ambiente de desconto de duplicatas e quanto estamos tratando de uma aplicação de um numerário de caixa em busca de um rendimento. Siglas utilizadas para o cálculo do desconto racional. Dentre a formulas matemáticas , que nos ajudarão a efetuar nossos procedimentos de cálculos, apresentamos abaixo; Como na maioria das vezes, o que temos é sempre o valor nominal de um título, para calcularmo o valor do desconto ao seu valor nominal, utilizamos a seguinte formulação matemática: Verifique que o valor do desconto no seu numerador é o valor Nominal de um título, como se fosse o Montante no sistema de capitalização simples; e depois ele é descapitalizado ao seu valor de origem, ou o seu valor de aplicação, como se fosse o Capital no sistema de capitalização simples. Você que já estudou conceitos do sistema de capitalização simples, a similaridade entre o modelo de desconto racional simples, com o sistema de capitalização simples são idênticos, o que muda são apenas as siglas “nomenclaturas”. Assim, o mesmo valor do desconto que encontramos numa operação de desconto racional é o mesmo valor que encontramos uma operação da aplicação financeira ao critério do regime de capitalização simples. Vamos lá com alguns exemplos: Um titulo no valor nominal de R$ 80.000,00 é descontado 3 meses antes do seu vencimento a uma taxa negociada de 4,5%, pede-se: determinar o valor do desconto racional deste título. Resolução: Agora vamos comparar conceitualmente, com quem pretende fazer uma determinada aplicação bancária para que lá no futuro este investidor venha ter um montante no valor de R$ 80.000,00 ao prazo de 3 meses, considerando que a taxa mensal negociada de aplicação também seja de 4,5% ao mês. Pergunta-se quanto eu deveria aplicar hoje para atingir o montante proposto de R$ 80.000,00. Com o valor dos juros, podemos calcular de um modo muito simples, como sendo a diferença entre o Montante deduzido do Capital, chegaremos ao seguinte resultado: Avalie que o mesmo valor do desconto para a empresa que necessitou do dinheiro é o mesmo valor dos juros para a empresa que tinha um numerário em caixa e efetuou a aplicação financeira, isto considerando o mesmo período de tempo a mesma taxa negociada. A partir dai, pelas fórmulas apresentadas e o conhecimento do conceito da metodologia do regime de capitalização simples, você está em plena condições para a resolução dos casas abaixo. Exercícios para resolução Calcular o valor do desconto racional “por dentro” de um título de R$ 25.500,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 3,5% ao mês. Calcular a taxa mensal de desconto racional “por dentro” utilizada numa operação de 160 dias, cujo valor de resgate do título é de R$ 46.000,00 e cujo valor atual é de 45.880,00. Sabendo-se que o desconto de um título no valor de R$ 6.800,00 resultou em um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa cobrada pelo banco é de 3,5% ao mês, calcular o prazo do título. Uma duplicata no valor de R$ 70.000,00 com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por uma banco à taxa de 2,70 ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou credita ao cliente. Calcular o valor do desconto racional de um título de R$ 100.000,00 com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês. Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor R$ 25.000,00 com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto, de acordo com o desconto racional. Um título de R$ 140.000,00 foi descontado a taxa de 33% ao ano, 5 meses antes do seu vencimento. Determinar o valor líquido entregue ao seu portador, de acordo com o conceito do desconto racional. Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontado a taxa de 48% ao ano proporcionou um valor atual (liquido creditado) de R$ 48.784,00. Sabe-se que a operação foi efetuada de acordo com o conceito do desconto racional. Sendo de R$ 3.419,44 o valor do desconto racional de uma duplicata, descontada a taxa de 3,55% ao mês, 120 dias antes do seu vencimento, calcular o valor do seu desconto. Sendo de R$ 2.800,00 o valor do desconto racional de um título, cujo valor de face seja igual a R$ 16.000,00, determinar o valor do seu desconto racional, a taxa de 3,55% ao mês. Fonte de pesquisa: Matemática Financeira prof. José Dutra Vieira Sobrinho Editora Atlas
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Tema 07: Operações com desconto simples comercial ou “desconto por fora”
Desconto comercial ou desconto por fora: Nesta metodologia, define-se que a base para calcular o “desconto” de um título é o valor futuro, que denominamos como Montante, assim a base para o desconto leva consigo os “juros” acumulados do período. As formulação matemática do desconto comercial não é semelhante ao modelo do sistema de capitalização simples quando realizamos uma aplicação financeira, e sendo uma base maior que chamamos de Montante (capital mais juros), não existe uma equivalência conceitual, tanto para a empresa que procede o desconto de um título, tanto quanto, a empresa que procede a aplicação de um valor em busca de um rendimento futuro. Apenas as siglas recebem uma nomenclatura diferente, até mesmo em relação ao modelo do desconto racional, para entendermos de um modo claro, quando estamos num ambiente de desconto de duplicatas entre o modelo comercial e o racional. Inclusive a nomenclatura da taxa recebe uma sigla diferente da nomenclatura do modelo racional, e passamos a chamá-la de “taxa de desconto periódica”. Dentre a formulas matemáticas , que nos ajudarão a efetuar nossos procedimentos de cálculos, apresentamos abaixo; Como na maioria das vezes, o que temos é sempre o valor nominal de um título, para calcularmos o valor do desconto ao seu valor nominal, utilizamos a seguinte formulação matemática: Verifique que o valor do desconto é o valor nominal do título, não ocorrendo neste modelo a descapitalização do desconto apurado em busca do seu valor presente, ficando um valor maior descontado pelo banco e um valor menor a ser liberado ao cliente. Podemos então definir, já neste momento que a taxa declarada no momento negociado não é a mesma taxa efetiva da operação. Concorda que a taxa efetiva desta operação é maior do que a taxa negociada, pois o valor liberado ao cliente é menor do que deveria ser, pelo fato de estarmos utilizando, neste modelo o valor nominal ou o Montante, para procedermos o desconto, ao invés de utilizarmos o valor do resgate, como fazemos no modelo racional? E assim não existe equivalência de capital entre a empresa que procede o desconto de duplicatas com a empresa que efetua a aplicação de um numerário? Vamos comprovar a teoria apresentada? Vamos lá com alguns exemplos: Um titulo no valor nominal de R$ 80.000,00 é descontado 3 meses antes do seu vencimento a uma taxa negociada de 4,5%, pede-se: determinar o valor do desconto comercial deste título. Agora vamos apurar a taxa efetiva desta operação? Verifique no quadro acima, que a taxa efetiva resultou em 5,20%, enquanto que a contratada no momento do desconto foi de 4,50%, e o valor do desconto desta operação é de R$ 10.800,00 enquanto que no modelo do desconto racional é de R$ 9.515,42 devido a base do desconto no modelo comercial ser o valor nominal do título, diferente do modelo racional que utiliza-se o valor de resgate do titulo. Verifique abaixo, o conceito com uma empresa que pretende aplicar um título ao mesmo procedimento Agora vamos comparar conceitualmente, com quem pretende fazer uma determinada aplicação bancária para que lá no futuro este investidor venha ter um montante no valor de R$ 80.000,00 ao prazo de 3 meses, considerando que a taxa mensal negociada de aplicação também seja de 4,5% ao mês. Pergunta-se quanto eu deveria aplicar hoje para atingir o montante proposto de R$ 80.000,00. Verifique no quadro acima, que não existe uma equivalência de capital entre a empresa que procede o desconto e entre a empresa que efetua aplicação de um recurso financeiro e as taxas não são equivalentes. A partir dai, pelas fórmulas apresentadas e o conhecimento do conceito da metodologia do regime de capitalização simples, você está em plena condições para a resolução dos casas abaixo. Exercícios para resolução Calcular o valor do desconto comercial “por fora” de um título de R$ 25.500,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 3,5% ao mês. Calcular a taxa mensal de desconto comercial “por fora” utilizada numa operação de 160 dias, cujo valor de resgate do título é de R$ 46.000,00 e cujo valor atual é de 45.880,00. Sabendo-se que o desconto de um título no valor de R$ 6.800,00 resultou em um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa cobrada pelo banco é de 3,5% ao mês, calcular o prazo do título. Uma duplicata no valor de R$ 70.000,00 com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por uma banco à taxa de 2,70 ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou credita ao cliente. Calcular o valor do desconto comercial de um título de R$ 100.000,00 com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês. Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor R$ 25.000,00 com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto, de acordo com o desconto comercial. Um título de R$ 140.000,00 foi descontado a taxa de 33% ao ano, 5 meses antes do seu vencimento. Determinar o valor líquido entregue ao seu portador, de acordo com o conceito do desconto comercial. Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontado a taxa de 48% ao ano proporcionou um valor atual (liquido creditado) de R$ 48.784,00. Sabe-se que a operação foi efetuada de acordo com o conceito do desconto comercial. Sendo de R$ 3.419,44 o valor do desconto comercial de uma duplicata, descontada a taxa de 3,55% ao mês, 120 dias antes do seu vencimento, calcular o valor do seu desconto. Sendo de R$ 2.800,00 o valor do desconto comercial de um título, cujo valor de face seja igual a R$ 16.000,00, determinar o valor do seu desconto racional, a taxa de 3,55% ao mês. Fonte de pesquisa: Matemática Financeira prof. José Dutra Vieira Sobrinho Editora Atlas
Tema 08: Operações com desconto composto comercial ” por fora”
Operações com desconto, consiste em liquidar um título antes do seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença ente o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado por n períodos antes do seu vencimento. Por outro lado, o valor descontado de um titulo é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto. No desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. Também neste caso, são conhecidos 02 tipos de desconto: O desconto composto “por fora” ou comercial e o desconto “por dentro” ou racional. O desconto composto comercial ou “por fora”, que avaliaremos no início deste “paper” não possui muita utilização, pelo menos no Brasil, devido a ausência de equivalência de procedimentos entre o investidor que aplica um título e a empresa que antecipa o desconto de duplicatas, resultando diferenças de taxas entre a taxa negociada e a taxa efetiva da operação; mas é importante você conhecer este tipo de desconto comercial e como diz o próprio nome: desconto “por fora”, pois o valor da taxa de desconto incide sobre o valor nominal de um título e não sobre o seu valor de resgate. Para facilitar nosso entendimento e alocações dos cálculos matemática, foram definidas algumas siglas para melhor identificar os valores em suas operações, conforme tabela abaixo: Dentre a formulas matemáticas , que nos ajudarão a efetuar nossos procedimentos de cálculos, apresentamos abaixo: Vamos avaliar alguns exemplos: Uma duplicata no valor de R$ 28.800,00, com vencimento 120 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”. Calcular o valor do desconto. 2) Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título? 3) Um título foi descontado à taxa de 3% ao mês 5 meses antes do seu vencimento. Sabe-se que esta operação produziu um desconto de R$ 39.000,00. Admitindo-se o conceito de desconto composto “por fora”, calcular o valor nominal do título. Um bom estudo, Prof. Alexandre Wander Fontes de consulta: Matemática Financeira – José Dutra Vieira Sobrinho Matemática Financeira e suas aplicações – Alexandre Assaf Neto Ambos livros da Editora Altas – Grupo Gen.
Tema 09: Desconto composto racional “por dentro”
Operações com desconto, consiste em liquidar um título antes do seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença ente o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado por n períodos antes do seu vencimento. Por outro lado, o valor descontado de um titulo é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto. No desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. Também neste caso, são conhecidos 02 tipos de desconto: O desconto composto “por fora” ou comercial e o desconto “por dentro” ou racional. Neste “pape” estaremos avaliando o desconto composto ” por dentro” ou racional é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos. Assim sendo, o valor descontado racional, equivale ao valor presente dos juros compostos. Verifique na formulação acima que o Valor Nominal que representa o valor futuro de uma duplicata, tem o mesmo pensamento de um Montante que representa o valor futuro de uma aplicação financeira, existindo neste caso, uma equivalência das taxas, tanto na aplicação, quanto que no desconto de um título. Siglas e fórmulas: Exemplos: Determinar o valor de resgate e o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que seu prazo é de 5 meses e que a taxa do desconto cobrada é de 3,5% ao mês 2) Sabendo-se que um título, para ser pago daqui a 24 meses, foi descontado 5 meses antes do seu vencimento. O valor nominal do título é de R$ 62.000,00 e a taxa de desconto, de 2,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nesta operação, sabendo-se que foi utilizado o desconto composto racional ” por dentro”. 3) Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de R$ 42.000,00 descontado 5 meses antes dos seu vencimento à taxa de 3% ao mês. 4) Um banco libera a um cliente R$ 15.400,00 provenientes do desconto de um título de valor nominal de R$ 29.000,00 descontado à taxa de 3% a.m.. Calcular o prazo de antecipação que foi descontado este título. Um bom estudo prof. Alexandre Wander Fonte de consulta: Matemática Financeira – Professor José Dutra Vieira Sobrinho Matemática Financeira – Professor Alexandre Assaf Neto Ambos autores da Editora Atlas
Tema 10: Conceitos de fluxo de caixa com vídeo aula
O estudo das metodologias do fluxo de caixa é importante para o nosso dia a dia, pois este modelo assume de uma forma completa a análise da variação do dinheiro ao longo do tempo, decorrente das entradas e saídas dos recursos financeiros. Leia o paper e assista vídeo aula no vídeo logo abaixo: Sendo útil para as seguintes aplicações: Análise dos empréstimos e financiamentos bancários para empresas nos seus projetos de expansão via BNDES; Análise dos investimentos efetuados nas empresas dos seus projetos de investimentos internos; o que denominamos em: ANÁLISE DE VIABILIDADE ECONÔMICA DE PROJETOS DE INVESTIMENTOS EMPRESARIAIS; Análise das empresas promoverem distribuição de dividendos aos seus acionistas; Análise dos desempenhos das ações das empresas negociadas nas Bolsas de Valores (Bovespa); e, finalmente Análise dos empréstimos e financiamentos bancários para pessoas físicas na compra de imóveis e veículos; Análise das prestações nas compras a prazo; Análise do recebimentos de aluguéis. Quais os erros que cometemos quando não entendemos muito claro os conceitos do fluxo de caixa? Destacamos alguns itens que poderão contribuir na nossa reflexão inicial. Comprar dívidas, ou invés de comprar bens; Acumular montante atrelados a bens que serão ainda pagos, ou invés de gerar capital através da economia de “renda” e investir a renda economizada a bens atrelados a “valor” que irão gerar riqueza futura; Promover um crescimento acelerado sem lastro dinheiro; ou invés de gerar dinheiro para depois promover um crescimento “modesto” e equivalente a nossa potencialidade de gerar caixa; Investir nas ações de empresas que possuem apenas “idéias” de crescimento; ao invés de investir nas ações de empesas “materializam idéias de crescimento” e que promovem criação de renda aos seus acionistas. “O fator tempo e ansiedade é “crucial” ao nosso desgaste patrimonial; demoramos anos para economizar; e na ansiedade investimos em minutos nossas economias, sem qualquer análise prévia daquilo que estamos comprando ou investindo”. Tipo Maria vai com as outras: O cara lá falou que a BOVESPA vai a 300 mil pontos e lá vamos nós. Construir e manter patrimônio, demanda tempo e principalmente conhecimento. Assim, o Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou pagamentos, em dinheiro, previsto por um determinado período de tempo. Na contabilidade, temos o famoso conceito do método de partida dobrada; de que para todo o “débito” tem um lançamento “credor” de idêntico valor, conceito desenvolvido pelo Frei Luca de Pacioli no seu livro publicado em 1494, tendo como premissa a igualdade de valor. Na matemática financeira, quando avaliamos fluxo de caixa, temos a figura do “aplicador de recursos” e do “tomador de recursos”, e quando se avalia o comportamento destas duas figuras a igualdade de valor é algo raro acontecer; pois percebemos através do modelo do FLUXO DE CAIXA que a taxa da rentabilidade do investimento normalmente é infinitivamente inferior a taxa do custo do dinheiro do tomador de recursos. Justamente ai, reside a distância entre o sucesso e o insucesso entre as partes. O Aplicador de recursos aguarda a rentabilidade dos investimentos; O Tomador de recursos assume o compromisso do pagamento do valor emprestado. Do lado esquerdo temos a figura do investidor com suas respectivas aplicações de caixa e que almeja no futuro conquistar seus ganhos financeiros. A diferença entre as aplicações das parcelas e o total pretendido, denomina-se “juros” Do lado direito temos a figura do tomador de recursos que no momento “presente” ele tem a entrada do caixa, assumindo o compromisso de pagamentos das parcelas provenientes dos financiamento adquirido. A diferença entre os pagamentos das parcelas e o valor tomado no momento “zero”, denomina-se “juros” Conceito de Juros: É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pelo uso do dinheiro, ou o “custo” do dinheiro. Importante: Quando o valor presente de um fluxo de caixa resulta ao mesmo valor no futuro, ocorre uma equivalência financeira de fluxo de caixa. O valor gerado no momento presente (PV) é o mesmo valor a ser gerado no futuro (FV), ocorrendo uma equivalência de valores do fluxo de caixa; e o que altera o valor do Capital para o Futuro; é a taxa negociada atrelada ao seu tempo. Portanto, fica a dica: quando não ocorrer a equivalência de valores dos fluxos de caixa entre o seu valor presente e o seu valor futuro; em seus respectivos tempos; é porque a taxa não são semelhantes; o que pode prejudicar ou o “aplicador de recursos” ou o “tomador de recursos”. Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos de termos de periódicos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos); de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes); de duração (limitados ou indeferidos) e de valores (constantes ou variados) Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa, como um dos mais importantes temas da matemática financeira, o assunto será tratado separadamente. A primeira parte dedica-se ao estudo do fluxo de caixa uniforme, o qual apresenta uma característica de forma padrão. É entendido como modelo padrão de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. Entre a periodicidade dos fluxos de caixa: Período de ocorrência: postecipados, antecipados e diferidos; Periodicidade: Periódicos e não periódicos; Duração: Limitados e indeterminados; Valores: Constantes e variáveis Postecipados: indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Por exemplo, não havendo carência, a prestação inicial de um financiamento é paga ao final do primeiro período do prazo contratado, vencendo as demais em intervalos sequenciais. Limitados: O prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o número de termos (pagamentos e recebimentos). Por exemplo, um financiamento por 2 anos envolve desembolsos neste intervalo fixo de tempo, sendo consequentemente limitado o número de termos do fluxo de caixa (prestações de financiamentos) Constantes: indica que os valores dos termos que compõe o fluxo de caixa sal iguais entre si Periódicos: É quando os intervalos entre os termos do fluxo de caixa são idênticos entre si. Ou seja, o tempo entre
Tema 10: Coeficiente de Financiamento
O coeficiente de financiamento pode ser entendido como um fator financeiro constante que, ao multiplicar-se pelo valor presente de um financiamento, apura o valor das prestações. Esses coeficientes são amplamente utilizados na prática, sendo importante o seu manuseio. As operações de financiamento pelo crédito direito ao consumidor – CDC, e as operações de arrentamento mercantil, constituem-se em aplicações práticas importantes desses fatores. Coeficiente de financiamento para fluxos de caixa uniformes: Nesse caso, o coeficiente é desenvolvido a partir de um modelo padrão dos fluxos de caixa adotado pela matemática financeira. Por exemplo, admita que uma instituição financeira divulgue que seu coeficiente para financiamento a ser liquidado em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas atinge atualmente 0,189346 (utiliza-se geralmente 06 casas decimais). Em consequência, um financiamento de $ 16.000,00 envolve o pagamento de 6 prestações mensais e iguais de $ 3.029,54, ou seja: PMT = PV x Coeficiente de Financiamento PMT = $ 16.000,00 x 0,189346 = $ 3.029,54 O coeficiente de financiamento é desenvolvido a partir da fórmula: Coeficiente de financiamentos para séries não periódicas: Conforme foi demonstrado, o coeficiente de financiamento para séries uniformes (modelo-padrão) é obtido a partir da identidade de cálculo do valor presente, ou seja: FV = PMT x FPV (i,n) O desenvolvimento do fator financeiro nesses condições implica a determinação de prestações periódicas (intervalos de tempo entre as prestações sempre iguais), iguais (de mesmo valor), sucessivas e finitas. No entanto, certas operações financeiras envolvem a apuração de prestações iguais e finitas, porém com intervalos de ocorrência desiguais. Por exemplo, um financiamento pode prever resgates em 3 prestações iguais, porém vencendo a primeira ao final do 1 mês, a segunda ao final do 4 mês e a terceira ao final do 9 mês. Graficamente, essa situação é representada da seguinte forma: Como não se constitui em série uniforme definida no modêlo padrão (os fluxos não são periódicos) não é possível utilizar-se a fórmula direta de valor presente para todos os fluxos de caixa. As prestações devem ser atualizadas uma a uma, constituindo-se o seu somatório no valor presente da série. Isto é: Logo, pode-se representar o coeficiente de financiamento para fluxo de caixa não periódicos como o inverso dos FAC (i,n) de cada prestação. Assim, para o exemplo em consideração, tem-se: F0nte: Matemática Financeira e suas aplicações Editora: Gen/Atlas Autor: Alexandre Assaf Neto