RESOLUÇÃO DO CASE FÍBRIA: FLUXO DE CAIXA MÉTODO INDIRETO
O fluxo de caixa no modelo indireto apresenta de modo sincronizado as relações entre os principais demonstrativos financeiros: O Balanço Patrimonial e a Demonstração do Resultado do Exercício (DRE); evidenciando o motivo que o Caixa se alterou decorrente das “origens” e “aplicações de recursos”, no seu modelo estrutural do: FLUXO DE CAIXA DAS ATIVIDADES OPERACIONAIS FLUXO DE CAIXA DAS ATIVIDADES DE INVESTIMENTOS FLUXO DE CAIXA DAS ATIVIDADES DE FINANCIAMENTOS Resultado nos aumento ou reduções líquidas de caixa. Abaixo apresentamos o Balanço Patrimonial e a DRE da Fíbria, decorrente das suas operações realizadas durante os anos de 2015, 2016 e 2017 e a elaboração do FLUXO DE DE CAIXA na utilização do modelo indireto, com prévia avaliação, na utilização do modelo acadêmico, a título de ilustração prática aos nossos alunos. Modelo do Fluxo de Caixa Indireto considerando os investimentos líquidos de imobilizado: Podemos analisar que no ano de 2017 a FÍBRIA apresentou um lucro líquido no valor de R$ 1.093 milhões e procedeu gestão de controle no capital de giro do curto prazo resultando em “origens de recursos” no valor de R$ 176 milhões e reduções no seu capital de giro de longo prazo através de “aplicações de recursos” no valor líquido de R$ 143 milhões; contribuindo para um FLUXO DE CAIXA OPERACIONAL no valor de R$ 2.566 milhões. Porém, a empresa vem adotando políticas de crescimento na sua produção e procedeu investimentos líquidos da depreciação no IMOBILIZADO no valor de R$ 1.994 milhões, resultando num FLUXO DE CAIXA das ATIVIDADES DE INVESTIMENTOS no valor de R$ 2.033 milhões. Como foi necessário de efetuar pagamentos de juros no valor de R$ 1.039 milhões e pagamentos dos dividendos obrigatórios no valor de R$ 261 milhões, foi necessário a empresa recorrer a novas “origens de recursos” provenientes dos BANCOS no valor de R$ 3.146 milhões, sendo R$ 554 milhões no curto prazo e R$ 2.591 milhões no longo prazo, resultado num AUMENTO LÍQUIDO DAS ATIVIDADES DE CAIXA no valor de R$ 1.977 milhões. Resumo: Todo esforço do FLUXO DE CAIXA OPERACIONAL foi consumido por investimentos de crescimento no ATIVO IMOBILIZADO, o que levou a empresa e efetuar novas captações de recursos financeiros através dos BANCOS. Modelo do Fluxo de Caixa Indireto considerando os investimentos bruto de imobilizado: Os comentários são semelhantes ao do FLUXO DE CAIXA sem considerar o efeito da DEPRECIAÇÃO; exceto o aumento no FLUXO DE CAIXA OPERACIONAL com o retorno do efeito não caixa da DEPRECIAÇÃO e no investimento BRUTO no IMOBILIZADO. Um bom estudo Prof. Alexandre Wander Formação de Controller
O Balanço Patrimonial e sua utilidade
Conceito: O Balanço é a demonstração contábil que tem por finalidade apresentar a situação patrimonial da empresa em dado momento, dentro de determinados critérios de avaliação. Conforme as instruções da lei 6.404/76 no artigo 178 “no balanço, os eventos são classificados em contas segundo os elementos do patrimônio que os registrem, e agrupados de modo a facilitar o conhecimento e análise da situação financeira da companhia”. Em seu modelo de apresentação em forma de duas colunas, apresenta os “investimentos” e as “origens” destes que são efetuados na empresa. Do lado esquerdo temos os investimentos, que convencionalmente chamamos de “ATIVO” e do lado direito temos as origens chamamos de “PASSIVO”. ATIVO: Compreende os recursos controlados por uma entidade e dos quais espera-se benefícios econômicos futuros de caixa. PASSIVO: Compreende-se as exigibilidades e obrigações da empresa PATRIMÔNIO LÍQUIDO: Compreende o capital inicialmente investidos pelos sócios, agregados aos seus aportes de capital e o lucro ou prejuízo decorrente das operações de uma entidade. Assim, o balanço patrimonial tem força de lei e os administradores legais da empresa em conjunto com o contador, profissional devidamente registrado no CONSELHO FEDERAL DE CONTABILIDADE e no CONSELHO REGIONAL DE CONTABILIDADE assumem a plena responsabilidade dos eventos econômicos que modificaram a estrutura patrimonial de uma empresa em suas origens e aplicações de recursos. Dentro da lei e no conceito geral dos parágrafos 1 e 2 do artigo 178 determinam a segregação do Ativo e Passivo, visando identificar as movimentações patrimoniais e como os gestores estão alocando os recursos na empresa, para fins de fiscalização e auditoria das mutações patrimoniais nos seguintes grupos. Como se verifica, os grupos de contas são apresentadas por liquidez e dentro de cada grupo temos as contas que indicam onde os gestores estão alocando os recursos a eles delegados de acordo suas responsabilidades. O ativo desmembra-se em 03 principais grupos que são tratados por ordem de liquidez: Ativo Circulante: Bens e direitos com conversão de caixa ao período de 01 ano (caixa, contas a receber, estoque, impostos a recuperar) Ativo não circulante: Bens e direitos com conversão de caixa a um período superior a 01 ano (contas a receber com vencimento acima de 360 dias) Ativo Permanente: Terrenos, máquinas e equipamentos de uma empresa, onde são produzidos os produtos a serem comercializados pela empresa (estoque) e finalmente o intangível (marca da empresa). O passivo também desmembra-se em 03 principais grupos e que são apresentados por ordem de liquidez: Passivo circulante: Obrigações que exigirão caixa ao período de 01 ano (salários a pagar, fornecedores, impostos, financiamentos bancários) Passivo não circulante: Obrigações que exigirão caixa ao período superior de 01 ano (empréstimos e financiamentos bancários) Patrimônio líquido: Apresenta o capital inicialmente integralizados pelos acionistas da empresa e o resultado das operações que geraram lucros ou prejuízo do decorrer do tempo. As apresentações das demonstrações contábeis, seguem o padrão internacional, não estabelece ordem ou formato para a apresentação das contas do balanço patrimonial, mas determina que seja observada a legislação brasileira. Composição analítica do Ativo Circulante: Grupo que gera dinheiro para a empresa pagar suas contas a curto prazo. Disponível (Caixa e Bancos) Contas a receber: são valores ainda não recebidos decorrentes de vendas de mercadorias ou prestação de serviços a prazo. Estoques: são mercadorias a serem vendidas. No caso de indústria, são os produtos acabados, bem como a matéria-prima e outros materiais secundários que compõem o produto de fabricação. Investimento temporário: são aplicações realizadas normalmente no mercado financeiro com excedente de caixa. Deduções do circulante: a parcela estimada pela empresa que não será recebida em decorrência de maus pagadores (PDD). Composição analítica do Ativo não Circulante: Compreende itens que serão realizados em dinheiro a longo prazo (período superior a um ano), ou de acordo com o ciclo operacional da atividade predominante. Os empréstimos que a empresa faz a diretores e a coligadas também são classificados neste grupo. Adiantamentos concedidos às sociedades coligadas ou controladas. Adiantamentos concedidos a diretores. Adiantamentos concedidos acionistas. Composição do Ativo Permanente: Itens que dificilmente se transformarão em dinheiro, destinados a manutenção das operações da empresa. Investimentos: não ligados à atividade-fim da empresa. Ex: Ações Outras Cias., Terrenos Intangível: Bens não corpóreos. Ex: Marcas e patentes Imobilizado: totalmente correlacionado com a atividade-fim. Ex: Prédios, Veículos, Máquinas. Composição do Ativo Imobilizado: Direitos que tenham por objeto bens corpóreos destinados à manutenção das atividades da empresa. Avaliados pelo custo de aquisição São baixados por depreciações, amortizações e exaustões Terrenos Construções (edifícios) Veículos Equipamentos e máquinas Equipamentos de escritório Computadores Passivo Circulante: Obrigações com terceiros a serem pagas no Curto Prazo Salários a pagar Fornecedores a pagar Empréstimos Bancários a pagar Encargos Trabalhistas e Impostos a pagar. Composição do Passivo não circulante: Obrigações com terceiros a serem pagas no Longo Prazo. Empréstimos Bancários Composição do Patrimônio liquido: Capital Social: Representa os valores investidos na empresa pelos titulares e pela conta de Capital e Realizar Resultado do exercício. Assim o balanço patrimonial tem por finalidade apresentar a situação financeira de uma empresa num determinado período de tempo, demonstrando os bens e obrigações por ordem de liquidez. Numa ótica avançada em finanças o Balanço Patrimonial apresenta a dinâmica das decisões financeiras em suas aplicações e origens de recursos que são avaliados a uma determinada taxa interna de retorno (TIR), um determinado período de tempo (PAYBACK) e o risco atrelado a este investimento ( BETA) e que devem em remunerar adequadamente seus provedores de capital (bancos e acionistas). Por muito tempo a contabilidade foi incorporada pelo governo como um instrumento para apuração dos impostos; mas com o advento do fortalecimento da “Bolsa de Valores”, votou a sua utilidade original de apresentar os investimentos efetuados numa empresa e como eles atuam em remunerar adequadamente seus provedores de capital. Prof. Alexandre Wander Acesse o link e visualize material com maiores detalhes ENTENDENDO OS DEMONSTRATIVOS CONTÁBEIS: Prof. Alexandre Wander
O robô roubou meu emprego?
Hoje essa pergunta ainda pode ser respondida por um ‘sim’, um ‘não’ ou um ‘talvez’. Mas, creio que em um futuro bem próximo, cada um poderá responder sem dúvida e com total convicção: SIM ou NÃO, à pergunta-título desse Artigo! Elon Musk, criador do Tesla, na sua empresa OpenAI, começou a desenvolver o que inicialmente chamou de máquina sentiente (sentiente: adjetivo de dois gêneros: 1.que percebe pelos sentidos / 2.que recebe impressões). Hoje Elon Musk faz mistério sobre o desenvolvimento do que agora denomina de “máquina-cérebro”. Esse projeto está sendo produzido pela Neuralink, startup de neurotecnologia que Musk fundou em 2016. Como há uma corrente da ciência que advoga que a AI (Inteligência Artificial) irá gerar mais empregos e uma contrária “tocando uma das trombetas do Apocalipse”, a canibalização de empregos, surge a pergunta que considero pertinente: PORQUE NÃO USAR ESSA TECNOLOGIA DE PONTA PARA POTENCIALIZAR A CAPACIDADE HUMANA? Bom, vamos trazer Elon Musk à baila novamente, dada a insinuação de que ele estaria próximo de anunciar uma tecnologia capaz de ligar cérebros humanos aos computadores. No Twitter pediram ‘quando?’, ele disse: “em breve!”. Em um trabalho acadêmico de 2015, a Neurolink detalhou um conceito para uma interface homem-máquina. O artigo da Nature Nanotechnology explica como um circuito flexível pode ser injetado em um cérebro vivo. “Estamos tentando desfazer a distinção entre circuitos eletrônicos e circuitos neurais” (Charles Lieber de Harvard, coautor do estudo). A INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL VAI ROUBAR O MEU EMPREGO? Não, de acordo com uma possibilidade aventada por Yuval Noah Harar, autor do livro Sapiens: “a fusão homem-máquina levará a humanidade à condição de semideuses, o que a fará conquistar a vida eterna e dominar o cosmos”… SERÁ? Sim, segundo o físico Stephen Hawking que era bem mais catastrófico do que Yuval, porque ele acreditava que a AI decretaria o fim da raça humana. Elon Musk concorda com isso e, para não ser surpreendido criou a máquina da OpenAI. Yuval, porém, fez uma advertência: “Cada minuto que perdemos discutindo Trump ou Brexit é um tempo sem pensar na Inteligência Artificial. Daqui 10 ou 20 anos, as pessoas vão olhar para trás e perguntar: por que eles não regularam isso quando ainda podiam regular e nos poupar de tanto sofrimento, tanta miséria e tanta quebra de Esperança?”. PODERÍAMOS SER ESCRAVIZADOS POR MÁQUINAS, COMO TANTOS LIVROS E FILMES VEM NOS ALERTANDO? Acredito que nada seja improvável, porque eu acredito que podem existir todas as possibilidades, já imaginadas ou não, ainda. Mas, conforme o conteúdo de obras como “O Exterminador do Futuro” e ‘Matrix’, foi isso que aconteceu… Queiramos ou não a AI já está entre nós. No iPhone com o nome de Siri, no Windows como Cortana e, assim por diante. Vários serviços de Call Center já são totalmente automatizados. Mas isso é só o começo. Em breve (estamos falando em até cinco anos), muitas tarefas que hoje são executadas por humanos estarão sendo usurpadas pelas máquinas. VOCÊ ESTÁ DESCREVENDO O APOCALIPSE, MORACY? Oooops, espero não estar passando isso como ‘profecia’, porque minha única intenção é passar isso como uma das possibilidades existentes. Há outras possibilidades também, é claro. Em 24/07/2017 eu publiquei o Artigo “Robotizar ou ser robotizado?”, quando propus um Conceito que preservava empregos e, ao mesmo tempo, tirava proveito da AI, essa Maravilhosa tecnologia que poderá capacitar a força humana de trabalho para que essa compense o empregador que a remunera. Mas, segundo entendo, esse processo tende a ser mais disruptivo (o que interrompe ou altera) que o provocado pela revolução industrial ou pela revolução digital, quando inovações tecnológicas criaram inúmeras novas profissões ou mudaram radicalmente as que existiam, além de mudar as técnicas de produção e as formas de negociar. Segundo a Singularity University, (think tank criado pelo Google e pela NASA em 2008), a verdade é que a Inteligência Artificial nem chegou à sua “primeira dentição”. O grande salto acontecerá quando as máquinas alcançarem a “singularidade”, a capacidade de autoproduzir uma segunda geração, ainda mais inteligente do que ela própria e, quando isso ocorrer, o mundo poderá mudar de tal maneira que o seu dia-a-dia não será mais reconhecível. ISSO NÃO É FICÇÃO. PORQUE, DE ACORDO COM A NASA E GOOGLE A “SINGULARIDADE” TEM DATA MARCADA: 2030! A partir daí, “arrumar trabalho vai ser uma dureza. E depois disso as coisas vão ficar realmente esquisitas” (quem diz isso não foi nenhum caipira que vive isolado no meio do mato, foi Bill Gates aquele humano que fundou a Microsoft…). Moracy das Dores é um Especialista em Marketing e Vendas. Atual Consultor de Marketing e Endomarketing do Grupo Trade Call Service. Reconhecido pelo MEC como um Mercadólogo, em 1991. Já publicou três livros: “Para sua vida melhorar, basta saber negociar”, “O Objetivista e a nova forma de ser e de estar no planeta Terra”, “Líder incomum se forma com Filosofia”.
Estrutura da Demonstração do fluxo de caixa de acordo com o CPC 03
Olá, sejam bem vindo a reflexão de um dos principais demonstrativos financeiros da Contabilidade: A Demonstração do Fluxo de caixa, abaixo estaremos apresentando as principais definições, utilizando uma linguagem prática e reflexiva ao modelo das aulas que ministramos aos nosso alunos. Mas, antes de iniciarmos nossas reflexões sobre a DFC é importante avaliarmos sua origem e correlação com 02 famosos demonstrativos financeiros: O Balanço Patrimonial, e A Demonstração do Resultado do Exercício. O Balanço Patrimonial, demonstra numa determinada data a situação econômica de uma empresa nas alocações dos recursos financeiros utilizados para a “construção” de uma empresa, e também evidencia as origens destes recursos, se foram do Capital Próprio (dos acionistas) ou de capital de terceiros (bancos e fornecedores). “Isto descrito acima numa linguagem simples; tendo interesse de expandir seus conhecimentos numa linguagem técnica, acesse o nosso link em: educacional, contabilidade (entendendo os demonstrativos contábeis)”. A Demonstração do Resultado do Exercício, detalha de uma forma sintética, a Receita gerada num determinado período e suas deduções, ou consumo de recursos que sempre estão atrelados consumo de recursos financeiros provenientes do “CAIXA” da empresa; até visualizarmos finalmente o “Lucro líquido do período”. A DRE entre suas utilidades e de muita importância, demonstra como uma empresa elabora seus preços de vendas e controla seus custos e despesas administrativa e comerciais até chegar no lucro líquido. Vamos avaliar um pouco sobre: A contribuição da Demonstração do Fluxo de caixa: Conforme descrito no CPC 03 as informações sobre o fluxo de caixa de uma entidade são úteis para proporcionar aos usuários das demonstrações contábeis uma base para avaliar a capacidade de a entidade gerar caixa e equivalentes de caixa, bem como as necessidades da entidade de utilização desses fluxos de caixa. A demonstração dos fluxos de caixa, quando usada em conjunto com as demais demonstrações contábeis (Balanço Patrimonial e Demonstração do Resultado do Exercício), proporciona informações que permitem que os usuários avaliem as mudanças nos ativos líquidos da entidade, sua estrutura financeira (inclusive sua liquidez e solvência) e sua capacidade para mudar os montantes e a época de ocorrência dos fluxos de caixa, a fim de adaptá-los às mudanças nas circunstâncias e oportunidades. A contribuição valiosa da DFC (demonstração do fluxo de caixa) é de apresentar como os gestores administram o lucro líquido apurado na DRE (demonstração do resultado do exercício); na potencialidade da empresa simplesmente: “gerar caixa”, pois muitas empresas “geram lucro”, mas nem de longe “geram caixa”. Como assim, me explica melhor esta definição? Imagina se você tivesse um salário de R$ 25.000,00 mil reais; porém o eu gastos mensal entres despesas e investimentos totalizasse R$ 30.000,00 mil reais. Pergunta: Quanto você gera de caixa? R$ 5.000,00 reais negativo, concorda? Porém num passado não muito distante, você tinha um salário de R$ 5.000,00 mil reais, e os teus gastos e investimentos totalizavam R$ 3.500,00. Pergunta: Quanto você gera de caixa? R$ 1.500,00 reais positivo, correto? Justamente isto que, normalmente acontece com as empresas que são administradas pelo lucro líquido e não avaliamo o quanto deste lucro está sendo consumido pela empresa para atingir metas de crescimento. Fazer com que o lucro liquido apurado na DEMONSTRAÇÃO DO RESULTADO DO EXERCÍCIO chegue ao “caixa” de uma empresa, tem uma distância muito grande e demanda uma forte capacidade de gestão dos administradores. Vamos estudar um pouco sobre a estrutura e composição da demonstração do fluxo de caixa? O Fluxo de caixa consiste nas entradas e saídas de um determinado investimento, que são consequência mutações patrimoniais e que são avaliadas pelas seguintes fases: Atividades operacionais; Atividades de investimentos; Atividades de financiamentos. Atividades operacionais, são as principais atividades geradoras de receita da entidade e outras atividades que não são de investimento e tampouco de financiamento. Atividades de investimentos, são as referentes à aquisição e à venda de ativos de longo prazo e de outros investimentos não incluídos nos equivalentes de caixa. Atividades de financiamentos, são aquelas que resultam em mudanças no tamanho e na composição do capital próprio e no capital de terceiros da entidade. Quando efetuamos uma avaliação da DFC (demonstração do fluxo de caixa); procuramos entender, o motivo que o caixa se alterou? buscando responder onde foi para o lucro liquido gerado demonstrado na DRE (demonstração do resultado do exercício). O caminho mais simples a percorrer é avaliar a estrutura patrimonial inicial da empresa de um determinado período e a estrutura patrimonial final desta mesma empresa num outro período. Que tal arriscar efetuar uma avaliação sobre o que ocorreu com a empresa, avaliando os quadros acima, vamos tentar? Observe que: em 2019, ocorreu uma redução do tamanho do quadro do ativo circulante, um aumento no tamanho do quadro do ativo permanente, um aumento no tamanho do quadro do passivo circulante e uma redução no tamanho do quadro do patrimônio líquido. Assim podemos chegar a seguinte conclusão: A empresa teve prejuízo no ano de 2019, devido a redução do tamanho do quadro do Patrimônio líquido; mesmo assim procedeu investimentos no Ativo Permanente comprando novos equipamentos e como o lucro foi negativo foi necessário efetuar captação de recursos no curto prazo, através de financiamentos bancários atrelados a juros. Avaliando também os quadro acima, podemos concluir o seguinte: Todo aumento no grupo do ativo representa investimentos de recursos do caixa e toda redução no grupo do ativo representa origem de recursos para o caixa e na contrapartida: Todo aumento no grupo do passivo representa origens de recursos para o caixa e toda redução no grupo do passivo representa investimentos de recursos do caixa. Exemplos das movimentações no ATIVO: Redução do nível dos estoques de um ano para o outro ano, representa um menor volume de recurso financeiro alocado nos estoques, contribuindo positivamente para o caixa da empresa, portanto uma origem de recursos decorrente da melhor gestão de compras da empresa. Aumento do nível dos estoques de um ano para o outro ano, representa um maior volume de recursos financeiros alocados nos estoques, contribuindo negativamente para o caixa da empresa, portanto uma aplicação de recursos. Redução do nível do ativo permanente
Tema 01: Matemática Financeira e a importância ao nosso dia a dia
Introdução básica: A matemática financeira estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo e o seu objetivo básico resume-se em efetuar comparações entre: A data de aplicação de um recurso até o retorno deste investimento; O valor do dinheiro na data de hoje, e o seu valor até na data da liquidação da mercadoria. Logicamente alguns desembolsos que efetuamos denomina-se despesas e são essenciais e prazerosos, ou seja, representa o consumo imediato de um recurso financeiro e que por sua vez nos trará satisfação ao momento atual e as nossas necessidades de sobrevivência, tais como: gastos com alimentação, lazer. Etc. Afinal de contas; somos merecedores. Mas…..quando se fala em investimentos, devemos efetuar algumas reflexões: Existem gastos de recursos financeiros atrelados a investimentos; e este por sua vez, deve ser criteriosamente avaliado; pois a moeda nada mais é do que um instrumento de troca de transação entre o comprador e o vendedor, atrelada a mercadoria, caracterizada pelo seu valor de mercado. Como assim? Quando uma empresa elabora um produto, ou um profissional presta um serviço; consome-se diversos bens até a sua finalização e isto denomina-se custo total de produção de um determinado produto. Adicionando-se o lucro almejado ao custo de produção da mercadoria conhecemos o valor que a mercadoria será comercializada no mercado. Vamos lá: Como a moeda é o poder de troca entre partes, ela representa o valor imediato de uma determinada mercadoria. Se a transferência da mercadoria e do dinheiro for de imediato não temos o fator tempo, nem a incerteza se o comprador irá ou não concretizar o pagamento em recurso financeiro pelo recebimento da mercadoria numa determinada data futura. Percepções a serem avaliadas pelo vendedor: em relação a entrega imediata da mercadoria e o recebimento do dinheiro numa data futura: O valor do dinheiro que irei receber no futuro terá o mesmo valor na data de hoje? Qual o risco de a mercadoria ser entregue na data de hoje e não recebermos o dinheiro futuramente? Qual será o impacto da inflação sobre o tempo entre a data da entrega da mercadoria e a data do recebimento do dinheiro no futuro? Percepções a serem avaliadas pelo comprador, em relação ao efetuar o pagamento da mercadoria em data futura: O valor a ser pago no futuro está corretamente definido? Será que o juro colocado pelo vendedor da mercadoria está correto? Quando deixamos de pagar uma mercadoria a vista e passamos a fazê-la a prazo; o fator monetário assume uma característica de extrema importância a ser avaliada; pois o “dinheiro” se descola da mercadoria passando a ter o seu valor isoladamente, e este CAPITAL terá oscilações significativas no decorrer do tempo. Sério? Isto mesmo; quem antecipa suas ansiedades de consumo para a data de hoje; pelo fato de ter o dinheiro somente no futuro assume os juros definido pelo vendedor na linha do tempo, atrelada ao risco. Ou seja: Você pode antecipar tua necessidade de comprar um carro novo na data de hoje com pagamento mensais a prazo de 05 anos, e simplesmente pagar dois ou mais carro no futuro. Você já parou para pensar: se vale a pena comprar um carro a prazo, ou alugar um carro a prazo??? Vamos a um exemplo na prática? Como a matemática financeira nos ajudar a construir nosso patrimônio, ou pelo menos protegê-lo: Um carrão deste dai, sonho de consumo da maioria dos brasileiros, custa em média R$ 150.000,00 reais, correto? Vamos supor que para eu impressionar meus amigos e satisfazer meu “ego”, resolva comprar um deste dai. Mas como não tenho dinheiro vou fazer um simples financiamento bancário a taxa de juros 10% ao ano, num prazo de 05 anos. Vamos lá: Valor do carro R$ 150.00,00 reais. Retirando o carrão da concessionária ocorre uma desvalorização imediata de 20%, então no dia seguinte o carro passa a valer R$ 120.000,00 reais correto? Considerando uma depreciação anual de 10%, teremos uma desvalorização anual de R$ 15.000,00 reais e no final de 05 anos o valor de mercado do “meu carro dos sonhos” será de R$ 45.000,00. Como eu não tinha dinheiro, e fiz um financiamento bancário do carro no valor de R$ 150.000,00 ao prazo de 05 anos com uma taxa anual de 10% ao ano. Valor da minha dívida integral liquidada ao período de 05 anos será de: R$ 241.576,50 (Duzentos e quarenta um mil reais, quinhentos e setenta e seis reais e cinquenta centavos). isto mesmo. Bom se o valor residual do carro após 05 anos é de R$ 45.000,00 reais e a minha dívida é de R$ 241.576,50 – então a minha perda financeira será de aproximadamente R$ 196.576,50 (cento e noventa e seis mil, quinhentos e setenta e seis reais e cinquenta centavos). Um alerta: Quando você está comprado algo a prazo, lembre-se: Uma coisa é o custo da mercadoria e outro fator é o custo do dinheiro. Na compra a prazo além de você estar comprando a mercadoria você também está comprando dinheiro. Já pensou em avaliar tanto o custo da mercadoria, tanto quanto o custo do dinheiro? Ha, considere também gastos anuais com: IPVA, seguros, manutenção. etc. Comprar ou alugar um carro? o que seria melhor? Um outro exemplo: Você pode antecipar tua necessidade de comprar um novo apartamento na data de hoje com pagamentos mensais de 35 anos com parcelar que cabem no teu bolso. Mas você parou para avaliar o quanto de “juros” encontra-se embutidos na parcela mensal do pagamento? Quantos apartamentos você estará pagando para comprar um único apartamento? Você parou para pensar: se vale a pena comprar um apartamento ou alugar um apartamento??? e investir teu dinheiro numa aplicação que apresentar um rendimento superior ao valor do aluguel que você estará pagando mensalmente? E na compra será que o valor mensal do aluguel que você estará recebendo será superior ao rendimento de uma aplicação financeira? Por exemplo: Você pode aplicar o valor que você estaria comprando um apartamento com uma taxa de rendimento anual de 10%, enquanto que retorno de um aluguel anual pode representar apenas 5% ao
Tema 02: Matemática Financeira e o teu Patrimônio – Uma introdução
A matemática financeira carrega consigo grandes evoluções do mundo contemporâneo, devido os seguintes fatores abaixo descrito: Desde os tempos primórdios a moeda ser o valor de troca entre mercadorias; Porque a moeda em muitos casos, passou a ser a própria mercadoria atrelada ao seu valor; A evolução do mercado de capital e o crescente número de pessoas investindo suas economias na Bolsa de valor. Como assim? Para atender nossos anseios de consumo, raras vezes compramos somente a mercadoria, e na maioria das vezes compramos além da mercadoria o “dinheiro”. A essência de um banco por exemplo é vender “dinheiro” e ganhar lucro sobre esta venda de mercadoria que se chama dinheiro. Em toda concessionaria de veículos ou imobiliária, a primeira coisa que o vendedor te apresenta após te mostrar o carro ou o apartamento dos teus sonhos é a facilidade de comprar o carro ou o teu primeiro AP através de um: FINANCIAMENTO BANCÁRIO, certo? Afinal de contas a vida passa e você sempre merece o melhor, concorda? E como os bancos ganham o seu lucro? O lucro dos bancos encontram-se atrelados a “taxa de juros” que eles cobram do tomador do recursos e neste caso isto ocorre, por exemplo: Quando você deixa de pagar no vencimento a parcela mensal do teu cartão de crédito; Quando você efetua a compra de uma mercadoria a prazo, pela tua necessidade ou “ansiedade” de antecipar o teu desejo de compra; Quando uma empresa não possui caixa suficiente para “bancar” um novo projeto e resolve emprestar dinheiro no banco para ser o “sócio” direto no investimento de crescimento. Quando antecipamos nossos anseios em relação ao futuro, temos duas variáveis a serem analisadas e que fazem parte do estudo da matemática financeira: O tempo: isto mesmo, a variável de você antecipar a tua geração de caixa do futuro ao presente. Tempo (n): prazo de recuperação do capital Como assim: Quando antecipamento o “futuro”; ou seja a nossa riqueza que vamos construir no futuro ao presente; nasce a variável tempo: Você compra hoje um automóvel que você teria condições de comprar daqui a 03 anos, por exemplo. o Banco coloca na tua “mão” o CAPITAL: Capital (PV): Qualquer valor expressão em moeda que representa o valor de uma mercadoria disponível em determinada época; Neste cado o emprestador, avalia o fator risco ao atender o teu desejo pela antecipação do CAPITAL (dinheiro) que você teria condições de ganhar no futuro ao teu presente e neste caso ele “o banco”, passa a vender a mercadoria dinheiro e atribui na negociação uma variável que, estuda-se em estatística e matemática financeira entre outras disciplina de finanças que se chama: Risco Risco: Define-se como a probabilidade de avaliar as incertezas mediante conhecimento prévio das probabilidades presentes avaliadas. Assim quando o emprestador coloca a tua disponibilidade um determinado recurso para atender a tua “ansiedade” de consumo presente de algo que você teria condições de comprar somente no futuro ele avalia o risco da operação e nasce uma variável que se chama: TAXA. Taxa de juros (i): É o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante um período. A taxa está sempre relacionada com uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano etc.). Aplicando-se a taxa de juros sobre o CAPITAL temos uma outra variável que se chama: Juros (J): É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pelo uso do dinheiro, ou o “custo” do dinheiro. Em matemática financeira temos 02 tipos de metodologia para avaliação das taxas aplicados e também dos juros correlacionado ao empréstimo do capital efetuado pelos bancos: Sistema de capitalização simples; Sistema de capitalização composta. O primeiro modelo, sistema de capitalização simples é de pouca utilidade no Brasil, pois acontece em países que controlam muito bem a inflação e praticamente as taxas de juros são baixíssimas e a “taxa” aplicada incide mensalmente somente sobre o CAPITAL inicialmente emprestado. Juros sobre o CAPITAL inicialmente emprestado. O segundo modelo, sistema de capitalização composta é de muita utilidade no Brasil, pois convivemos numa economia instável e a nossa moeda encontra-se “depende” de outras moedas tal como a moeda norte americana o “dólar” e de uma outro produto que se chama “ouro”. Assim, no regime de capitalização composta a “taxa” aplicada incide mensalmente além do CAPITAL inicialmente emprestado, também sobre o “juros” no período anterior. Assim temos Juros sobre o CAPITAL inicialmente emprestado, mais o juro sobre juro. Percebeu a diferença entre sistema de capitalização simples e sistema de capitalização composta? Se ainda não ficou claro, leia novamente os 2 parágrafos anteriores. Bom, como introdução a necessidade do estudo da matemática financeira, faça uma reflexão, o quanto durante a tua existência como ser humano, inteligente e racional. você já deve ter ganho ou perdido de dinheiro sem antes ter avaliado questões básicas da matemática financeira e como dizem a maioria dos nossos alunos desta disciplina e quando eles passam a ter a consciência do tema: Professor: Isto dai deveria fazer parte da grade educacional do nosso curso de infância. Entre outros temas, a matemática financeira estuda além do comportamento das taxas e sistemas de capitalização, destacamos alguns que julgamos ser importante ao nosso estudo, já amplamente avaliados por renomados estudiosos da disciplina: Os modelos de descontos que denomina-se: Racional e Comercial; Oscilação da moeda e comportamento da inflação; Indexadores da economia e indicadores básicos do Banco Central; Sistemas de amortização dos empréstimos e financiamentos; Definição da taxa minima de atratividade; Conceitos básicos de avaliação dos projetos de investimentos. Lembre-se bem: A riqueza somente acontece pela “renda economizada” e não pela aquisição ou construção de patrimônio através do endividamento. Abaixo um simples vídeo que poderá contribuir contigo, ao estudo desta preciosa e longa jornada: Como a matemática financeira pode te ajudar na construção e manutenção do teu patrimônio. Prof. Alexandre Wander – Mestre em Finanças e consultor empresarial
Tema 03: Capitalização simples: Conceitos e aplicabilidade com exercícios resolvidos
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: Capitalização simples: É aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre o juro acumulado. Neste tipo de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar por 30; se desejamos converter a taxa mensal em anual basta multiplicar por 12, e assim por diante. A utilização da capitalização simples é aplicada em países de baixa inflação onde o valor do dinheiro no tempo não sofre fortes desvalorização. Primeiramente precisamos definir alguns conceitos; básicos de primordiais para o estudo da matemática financeira, e então vamos lá: CAPITAL: Entende-se por capital o valor inicialmente contratado; correlaciona-se com o valor do bem no seu estágio inicial; sem risco e no seu poder de conversão ou utilização imediata; mediante a transferência de propriedade. JUROS: É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro; ou pela transferência de propriedade sem a efetiva transição monetária no momento da aquisição de um bem. TAXA DE JUROS: É a razão entre os juros recebidos ou pagos no final de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa está sempre correlacionada com uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano etc.) Entendido estes conceitos; temos três modelos que nos ajudam a chegamos a um determinado resultado: APLICABILIDADE DAS FÓRMULAS e TABELAS; UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA HP EXCEL Importante o conhecimento e domínio das fórmulas, pois assim entenderemos como a calculadora HP funciona e como encontra-se parametrizado o Excel em seus cálculos automáticos. Assim as fórmulas previamente formatadas por estudiosos no assunto nos ajudam no entendimento e aplicabilidade dos conceitos. Cálculo dos juros: O valor é obtido pela seguintes expressão: J = C x I x N onde: J = Juros c = Capital i = taxa n = tempo Exemplo: Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00 pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3% ao mês? Fórmula: J = C x I x N Dados C = R$ 100.000,00 n =15 meses i = 3% = 0,03 Substituindo os dados na fórmula, teremos: J = R$ 100.000,00 x 0,03 x 15 J = R$ 45.000,00 A partir da fórmula original, poderemos desenvolver as fórmulas derivadas, tais como: Cálculo do tempo: n = J / (C x i) Cálculo da taxa: i = J / (C x n) Cálculo do capital: C = J / (i x n) Uma outra definição é a do montante que refere-se a soma do capital inicialmente empregado com o juros referentes ao período de aplicação, assim sendo temos: M = C + J substituindo, o J (juros) pelo seu desmembramento teremos: M = C + (C x i x n) Colocando o C em evidência, resultaremos na seguinte fórmula para o cálculo do montante: M = C x (1 + i x n); A partir desta fórmula podemos elaborar a fórmula derivativa para o cálculo do capital, quando tivermos a informação do montante, tal como apresentamos abaixo: C = M / (1 + i x n) LISTA DE EXERCÍCIOS: CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1) Calcule os juros produzidos por $100, 00, à taxa de 10% ao mês, após dois meses. Dados C = $ 100,00 n = 2 meses i = 10% a.m. J = C (x) i (x) n J = 100 x 0,10 x 2 = 20,00 Fórmula do Montante M = C x [1+ i x n] M = 100 x (1 + 0,10 x 2) M = 100 x (1,20) M = 120,00 2) Durante quantos meses o capital de $4.500,00, aplicados a 8% ao mês, produz juros de $1.440,00? Dados C = $ 4.500,00 j = 1.440,00 i = 8% a.m. Fórmula dos Juros (J): J = C x i x n Formula derivada: N = J / (c x i) N = 1.440,00 (4.500,00 x 0,08) N = 1.440,00 / 360,00 N = 4 meses 3) Qual a taxa de juros cujo capital de $590,00, aplicados durante 14 meses, produz juros de $371,70? Dados C = $ 590,00 j = 371,70 n = 14 meses Fórmula dos Juros (J): J = C x i x n Formula derivada: i = J / (c x n) i = 371,70 / (590,00 x 14) i = 371,70 / (8.260,00 i = 0,045 (x) 100 = 4,5% 4) Dois capitais cuja soma é de $500,00 foram aplicados a juros simples. O primeiro a taxa de 3% ao mês e o segundo a taxa de 5% ao mês. Calcule os dois capitais, sabendo que a soma dos juros produzidos, após um semestre, foi de $114,00. Dados: Soma dos capitais (x + y) : R$ 500,00 Capital x encontra-se aplicado a taxa de 3% Capital y encontra-se aplicado a taxa de 5% Juros de x + y = 114,00 Tempo da aplicação: 6 meses Se x é o capital que foi aplicado à taxa de 3%a.m., então (500-x) é o capital restante (y), que foi aplicado a 5%a.m. Passaram-se 6 meses, então: x.(3/100).6 + (500-x).(5/100).6 = 114 Dividindo-se todos os membros da equação por 6, temos: x.(3/100) + (500-x).(5/100) = 19 Multiplicando-se todos os membros da equação por 100, temos: 3x + (500-x).5 = 1900 3x + 2500 – 5x = 1900 -2x = -600 X = 300 Y = 200 5) Determine os juros e o montante (valor futuro) correspondente à aplicação do capital R$ 40.000,00 à taxa de juros simples 4% ao mês, pelo prazo de três meses. Dados C = $ 40.000,00 n = 3 meses i = 4% a.m. Fórmula dos Juros (J): J = C (x) i (x) n J = 40.000 x 0,04 x 3 = 4.800 M = C + J = 44.800,00 Fórmula do Montante M = C x [1+ i x n] M = 40.000 x (1,12) M = 44.800,00 6) Determine os juros
Tema 04: Regime de capitalização composta cases com resolução e áudio
Tema 05: Explicações iniciais das operações com desconto de duplicatas.
Operações com desconto normalmente ocorre quando empresas ao necessitar de recursos futuros antecipam a conversão de uma duplicata a vencer em data futura para uma data presente. Fatores que levam as empresas a operar com desconto de duplicatas: Os principais fatores que levam as empresas a operar com desconto é a ausência de “capital de giro” para manter suas necessidades diárias, ou que por necessidade de crescimento ou expansão das operações necessitam de recursos financeiros para “compras de máquinas e equipamentos” e antecipam vencimentos futuros dos títulos a vencer. “O grande risco numa operação das antecipações dos recursos é o desvio do dinheiro que normalmente seria para a empresa repor os estoques das mercadorias que foram vendidas para outras finalidades dentro da própria empresa, que poderá levá-la a um colapso financeiro”. A contribuição da contabilidade na gestão empresarial: Por analogia, quando deduzimos da RECEITA LÍQUIDA o CUSTO DO PRODUTO VENDIDO e outras despesas operacionais entre o imposto sobre o lucro, temos um lucro líquido; a contabilidade está nos dizendo: “Você somente pode gastar para outros investimento o lucro líquido; pois da Receita liquida total você tem que repor os custos dos produtos vendidos e outras despesas operacionais”. Normalmente o que você acha que acontece? Os proprietários se iludem com a Receita líquida total e utilizam esta base para outros fins dentro da própria empresas; e falta recursos para recompor os estoques e utilizam-se dos vencimentos futuros das duplicatas para suprir despesas e custos já compromissados. Quais cuidados que devemos ter nas operações com descontos? Quando a empresa realiza operações de desconto com os bancos, ao antecipar um valor recebível lá do futuro o banco cobra “taxas” e adotam diferente metodologias para promover o desconto das duplicatas a vencer, sendo muito importante, conhecê-las, para não perdermos ainda mais o “andar das carruagens”. Primeiramente devemos nos atentar o modelo utilizado pela instituição financeira; normalmente temos dois tipos de modalidades: O desconto racional e o desconto comercial. Mas antes vamos definir com clareza este tal de “desconto”: Pensa primeiramente que nada é gratuito na linha do tempo; pois se você tem uma duplicata que irá vencer daqui 30 dias e você quiser utilizar este recurso na data de hoje; temos a questão tempo, correto? O valor do dinheiro lá no futuro, ou seja daqui 30 dias temos um fator que faz parte do nosso dia a dia que se chama? Inflação: representada pela desvalorização da moeda entre uma data presente e uma data futura, e dai surge uma palavrinha que se chama taxa, e que representa o índice aplicado no valor Nominal de um título para trazê-lo a data presente. No mínimo numa operação bancária temos a taxa da inflação, mais a taxa de risco do banco proceder a antecipação de um titulo que chamamos de taxa efetiva para desconto de duplicatas. Pensa o seguinte: podemos ser grandes amigos, mas dificilmente colocarei na tua mão um valor de R$ 100,00 reais na data de hoje, contra um direito que você estará me passando a receber deste valor de R$ 100,00 que irá vencer daqui 30 dias. Num raciocínio lógico, primeiramente eu antes de colocar este dinheiro que irá vencer lá na frente, ou seja daqui a 30 dias, eu iria conhecer a taxa da inflação e para falar a verdde a taxa efetiva de juros praticado no mercado, que além da inflação inclui também a taxa de ganho efetiva da operação,e deduzir do valor futuro a taxa pertinente e te liberar somente o valor líquido da operação. Legal, vamos apresentar este pensamento numericamente: Valor do título nominal na data futura: R$ 100,00 Tempo entre a data de hoje e a data futura: 360 dias Taxa mensal do desconto: 4,50% Então pela fórmula tradicional da matemática financeira, como estudamos em juros compostos, pois estamos numa economia inflacionária, vamos pensar que o valor nominal é o nosso Montante, pois é um valor futuro, correto? o tempo representa a variável (n) e a taxa a variável (i) e estamos buscando conhecer o nosso valor presente que representamos por Capital ou Valor presente. No fórmula tradicional do sistema de capitalização composta temos: e na fórmula dedutiva, para conhecermos o Capital, temos: Onde: M = Montante C = Capital n = tempo i = taxa Então, aplicando-se a fórmula para conhecermo o Capital a ser liberado na data presente de um título a vencer no futuro, teremos: Conforme apresentamos acima, utilizamos uma metodologia “justa” ao descontar de um título de valor nominal que irá vencer daqui 360 dias, o valor da mensal do desconto de 4,5% e liberar para você utilizar na data de hoje o valor de resgate de R$ 95,69. A diferença entre o valor nominal do titulo e o valor de resgate na data de hoje no valor de R$ 4,31 se chama “desconto racional”. Mas, na realidade quando realizamos operações de desconto com os bancos temos dois tipos de metodologias, amplamente utilizadas: Desconto Racional ou desconto por dentro: Desconto Comercial ou desconto por fora. Assim como estudamos anteriormente, temos dois tipos de regime de capitalização: Capitalização Simples Capitalização Composta. Antes de mais nada, vamos deixar bem esclarecido os conceitos acima: Desconto racional ou desconto por dentro: Nesta metodologia, define-se que a base para calcular o “desconto” de um título é o valor de resgate ou o seu valor presente que denominamos como Capital, semelhante ao pensamento que utilizamos quando pretendemos conhecer o valor presente de uma aplicação que terá direito a resgate no futuro e que denominamos de Montante. Por este motivo chamamos de desconto racional ou “desconto por dentro”. Desconto comercial ou desconto por fora: Nesta metodologia, define-se que a base para calcular o “desconto” de um título é o valor futuro, que denominamos como Montante, diferente do pensamento que utilizamos quando pretendemos conhecer o valor presente de uma aplicação que terá direito de resgate no futuro e que denominamos de Montante. Por este motivo chamamos de desconto comercial ou “desconto por fora”. Percebe-se que no modelo comercial a base para o cálculo do desconto é o valor futuro e que
Tema 06: Operações com desconto simples racional ou “desconto por dentro”
Desconto simples racional ou desconto por dentro: Nesta metodologia, define-se que a base para calcular o “desconto” de um título é o valor de resgate Vr; que denominamos no sistema de capitalização simples como Capital. As formulação matemática do desconto racional é semelhante ao modelo do sistema de capitalização simples quando realizamos uma aplicação financeira, por este motivo o título de “racional”, pois existe uma equivalência conceitual, tanto para a empresa que procede o desconto de um título, tanto quanto, a empresa que procede a aplicação de um valor em busca de um rendimento futuro. Apenas as siglas recebem uma nomenclatura diferente, para entendermos de um modo claro, quando estamos num ambiente de desconto de duplicatas e quanto estamos tratando de uma aplicação de um numerário de caixa em busca de um rendimento. Siglas utilizadas para o cálculo do desconto racional. Dentre a formulas matemáticas , que nos ajudarão a efetuar nossos procedimentos de cálculos, apresentamos abaixo; Como na maioria das vezes, o que temos é sempre o valor nominal de um título, para calcularmo o valor do desconto ao seu valor nominal, utilizamos a seguinte formulação matemática: Verifique que o valor do desconto no seu numerador é o valor Nominal de um título, como se fosse o Montante no sistema de capitalização simples; e depois ele é descapitalizado ao seu valor de origem, ou o seu valor de aplicação, como se fosse o Capital no sistema de capitalização simples. Você que já estudou conceitos do sistema de capitalização simples, a similaridade entre o modelo de desconto racional simples, com o sistema de capitalização simples são idênticos, o que muda são apenas as siglas “nomenclaturas”. Assim, o mesmo valor do desconto que encontramos numa operação de desconto racional é o mesmo valor que encontramos uma operação da aplicação financeira ao critério do regime de capitalização simples. Vamos lá com alguns exemplos: Um titulo no valor nominal de R$ 80.000,00 é descontado 3 meses antes do seu vencimento a uma taxa negociada de 4,5%, pede-se: determinar o valor do desconto racional deste título. Resolução: Agora vamos comparar conceitualmente, com quem pretende fazer uma determinada aplicação bancária para que lá no futuro este investidor venha ter um montante no valor de R$ 80.000,00 ao prazo de 3 meses, considerando que a taxa mensal negociada de aplicação também seja de 4,5% ao mês. Pergunta-se quanto eu deveria aplicar hoje para atingir o montante proposto de R$ 80.000,00. Com o valor dos juros, podemos calcular de um modo muito simples, como sendo a diferença entre o Montante deduzido do Capital, chegaremos ao seguinte resultado: Avalie que o mesmo valor do desconto para a empresa que necessitou do dinheiro é o mesmo valor dos juros para a empresa que tinha um numerário em caixa e efetuou a aplicação financeira, isto considerando o mesmo período de tempo a mesma taxa negociada. A partir dai, pelas fórmulas apresentadas e o conhecimento do conceito da metodologia do regime de capitalização simples, você está em plena condições para a resolução dos casas abaixo. Exercícios para resolução Calcular o valor do desconto racional “por dentro” de um título de R$ 25.500,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 3,5% ao mês. Calcular a taxa mensal de desconto racional “por dentro” utilizada numa operação de 160 dias, cujo valor de resgate do título é de R$ 46.000,00 e cujo valor atual é de 45.880,00. Sabendo-se que o desconto de um título no valor de R$ 6.800,00 resultou em um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa cobrada pelo banco é de 3,5% ao mês, calcular o prazo do título. Uma duplicata no valor de R$ 70.000,00 com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por uma banco à taxa de 2,70 ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou credita ao cliente. Calcular o valor do desconto racional de um título de R$ 100.000,00 com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês. Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor R$ 25.000,00 com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto, de acordo com o desconto racional. Um título de R$ 140.000,00 foi descontado a taxa de 33% ao ano, 5 meses antes do seu vencimento. Determinar o valor líquido entregue ao seu portador, de acordo com o conceito do desconto racional. Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontado a taxa de 48% ao ano proporcionou um valor atual (liquido creditado) de R$ 48.784,00. Sabe-se que a operação foi efetuada de acordo com o conceito do desconto racional. Sendo de R$ 3.419,44 o valor do desconto racional de uma duplicata, descontada a taxa de 3,55% ao mês, 120 dias antes do seu vencimento, calcular o valor do seu desconto. Sendo de R$ 2.800,00 o valor do desconto racional de um título, cujo valor de face seja igual a R$ 16.000,00, determinar o valor do seu desconto racional, a taxa de 3,55% ao mês. Fonte de pesquisa: Matemática Financeira prof. José Dutra Vieira Sobrinho Editora Atlas